集中講義 6/13 メモ

• 問：無限集合なしで数学ができるか？
  
  • 無限集合＝「確定した無限」、確定した自然数集合( the N )
    

• 答：YES
  
  • 超準数学を現代数学から独立させれば
    

• the N がもたらす歪み
  
  • the N => 確定した実数 => 宇宙の完全記述（現実の数学化）
    
  • (Weyl) Existence Absolutism
    
    • 存在するものは認識とは関係なく細部まで確定している。
      

• the N の数学的正当化はすべて失敗
  
  • スコーレム・レーベンハイム
    
  • ゲーデルの不完全性定理
    

• 現実的可能性と原理的可能性の混同の歪み：パリクの定理
  

• 日常的な無限感覚との乖離
  
  • measuring infinity vs cardinal infinity
    

• 連続体は無限集合か？
  

• 無限集合の存在は公理
  

• 非可述的定義：自然数全体の集合
  

• 選択公理
  

• 半世紀の総括：現代数学は超準解析で展開できる。
  
  • 無限小を使う微積の復活
    
  • Nelson: Radically Elementary Probability Theory
    
  • Loeb measure
    

• 超準解析の概要：
  
  • 用語「標準的」を導入
    
  • 「標準的」の意味：現実的、具体的、到達可能等（vague)
    
  • vague な「標準的」を精密に使う
    
    • 標準的な数の全体は集合をなさない：さもないと砂山の逆理.
      
    • (IST):T転移公理, I理想化公理, S標準化公理
      

• 超準解析の問題点
  
  • 現代数学に固執（conservative extension)
    　最終的に非標準的なものを消去
  • 形式系に強く依存
    
    • 数理論理学を学ばないと適切に使えない
      
    • 大学初年級教育で使えない
      

• 1980年代: 現代数学から独立した超準解析
  
  • Reeb : 超有限概念 + 溢出原理 overspill principle
    
  • Vopenka: 半集合 Alternative Set Theory
    

• ある決められた方法で具体的に構成できる自然数
  
  • 主な例：
    
    • 棒記号で実際に表される数.
      
    • 十進法で実際に表示できるもの.
      
    • べき記号を使って実際に表示できるものより小さい数.
      
    • Peano の公理系で具体的に記述できるもの.
      

• 1 は到達可能
  

• 到達可能数は和・積で閉じている. 　
  

• downward closed x が到達可能　＝＞ xより小さい数も到達可能
  

• 記号: x ≫ 1
  

• 無限小
  

• 有界
  

• 識別不能性
  

• r≺s, r≾s　
  

• クラス
  

• 集合
  

• プロパクラス N,Z,Q
  

• 確定条件: ∀x∈y.P(x), ∃x∈y.P(x),
  
  • 部分クラス: 例：3Z ⊂ Z, 反例: Z ⊂ Q
    

• 客観的条件: 到達可能性を使わない条件
  

• 公理3(分離公理)：客観的確定条件は集合の部分集合を定める。
  

• プロパ半集合：集合ではない半集合
  

• プロパ半集合の環境集合
  

• 例：到達可能数全体 ⊂ [1..Ω]
  

• 例：無限小なi/Ωの全体 ⊂ [1/Ω,2/Ω,..1]
  

（合成可能性は要検討）

環境集合上の関数に拡張できる.

• 系.半集合から集合への関数全体はクラスをなす。
  

　　Pが弱帰納的とは P(0) かつ ∀^accn ( P(n) ⇒ P(n+1))

• 定義
  
  • 推移的 長さ３の鎖の両端が同値
    
  • 強推移的　任意長の鎖の両端が同値
    
  • 弱推移的　到達可能長の鎖の両端が同値
    

• 命題.
  
  • 推移的ならば弱推移的(弱帰納法)
    
  • 客観的ならば、推移的なら強推移的.
    

• 定義
  
  • 強同値関係: 同値関係で強推移的なもの（R が客観的なら通常の同値関係）
    
  • 弱同値関係: 主観的同値関係
    
  • Sorites関係： 強同値関係ではない同値関係
    

• 網連続体：（半集合,≈）
  

• 剛網連続体：（集合, ≈）
  

• 点：≈-同値類
  

• R = (Q,≈):線状連続体
  

• (X,d,≈):距離連続体( d:距離), x≈y <=>d(x,y)≈0
  

• (εZ, ≈):
  

• 区間連続体 [0,1]_Q, (0,∞)_Q
  

• 区間網連続体 (0,1)_ε, (0,∞)_ε
  

• 区間剛網連続体 [0,1]_ε
  

• 直積連続体
  

• (V,E):連結グラフ,Ω ≫ 1 ⇒ (V,d/Ω,≈): 剛網連続体
  

• f: C→ D が連続 ⇔　x ≈ y ならば f(x) ≈ f(y)
  

• f ≈ g ⇔ ∀x∈C: f(x) ≈ g(x) （確定的でない）
  

• (C,≈) から(D,≈) 2への射： 連続関数の「同値類」
  

• 同型射：(C,≈) ≅　(D,≈)
  
  • 例：R ≅ (εZ,≈), [0,1] ≅ [0,1]_ε
    

• 方針：「標準的」に依存する概念を使わない
  
  • 例：X が標準的なとき
    
    • X が閉 ⇌ Xで近似できる標準元 ∈ X. 「∀^st y ∀x ( y≈x∈X なら y∈X)
    • X が開 ⇌ Xの標準的元に無限小に近い元 ∈ X 　「∀^st x ∀y ( y≈x∈X なら y∈X )

• 点列の収束： ∃^hugeN ∀^hugei,j ≤ N　 a_i ≈ a_j
  

• xが部分集合Bの集積点とは x∈B またはｘと識別不能なBの個数が巨大.
  

• x が孤立点: y≈x なら y=x
  

• C が完全 <=> |C|は孤立元を持たない。
  

• C がコンパクト <=> 任意の巨大数N について要素数がっ N 以下の稠密部分集合がある。
  
  • 定理. Cがコンパクトならば |C| の巨大部分集合は集積点を持つ。
    

• (X,d,≈) が距離連続体 とは x ≈ y <=> d(x,y) ≈ 0.
  

• 具体的点列
  
  • 収束 (εδ的条件と同値)
    
  • コーシー列
    

• 定理. 距離連続体は完備である。
  

• 定理. コンパクトな剛網距離連続体の具体的点列は集積点を持つ。