1999年度後期 数理計算理論（数学専攻修士課程）・計算数学特論（数学科４年）

数学における不定性

講義の目的

前世紀に集合がまともな数学的概念であると納得するのは容易ではなかったと 想像されるが、内部観測と数学の関係が腑に落ちるには、同質の（あるいはそ れ以上の）心理的ハードルがある。

内部観測論の核心をなす概念は不定性にある。不定性と言っても、確定に対す る否定形としての不定性ではなく、原初的な不定性である。この不定性、還元 不能な不定性が、集合論に馴染んでいるわれわれには理解しにくいのである。

この講義では、現代数学の基盤変更の試みの紹介を通して、＜数学の不定性＞ に様々な角度から照明を当てたい。

講義の予定（順不同）

• 序：数学における不定性について
• 形式系と集合論の概要
• 内的集合論（超準数学）（多様な有限への入門として）
• Essenin-Volpin の超有限主義
• predicative arithmetic(Nelson)
• Beck の実数論
• 郡司幸夫氏の内部観測モデル
• 角田秀一郎氏の自然数論の脱構築

参考文献

• ウィトゲンシュタイン全集４巻（哲学的文法第二部、論理学と数学について）
• ウィトゲンシュタイン全集７巻（数学の基礎）
• ソールA.クリプキ（黒崎宏訳）「ウィトゲンシュタインのパラドックス-規則・私的言語・他人の心--」産業図書１９８３,ISBN 4-7828-0017-7.
• A. Robert. Nonstandard Analysis, John Wiley 1985, ISBN 0-471-91703-6.
• E. Nelson. Radically elementary probability theory, Princeton University Press 1987, ISBN 0-691-08473-4.
• E. Nelson. Predicative arithmetic, Princeton University Press 1987, ISBN 0-691-08455-6.
• J. Beck. Simplicial sets and the foundations of analysis. In Applications of Sheaves, Proceedings, Durham 1977, Springer LNS VOl 753, 1979, ISBN 0-387-09564-0. p 113-124.
• A.S. Yessenin-Volpin. The ultra-intuitionitic criticism and the antitraditional program of foundations of mathematics, Intuitionism and proof theory, p3--45. Proceedings of the summer conference at buffalo NY 1968, eds A. Kino, J.Myhill, R.E. Vesley, North-Holland 1970. (Math. Review: 45 #4938 (PDF))
• 郡司ペギオー幸夫「生命と時間、そして原生-計算と存在論的観測」( 目次 ) 現代思想 1994.9,11,12,1995.4,5,8,12,1996.6,9,11
• 角田秀一郎
  • 「二つの系と「自分」」(pdf file) 複雑系札幌研究会1998.1
  • 「数学と存在論的観測」( PDF)第７回複雑系札幌シンポジウム, 1999.3.
  • 「ラッセルの逆理の懐疑的解決」(pdf file) 奈良女子大学人間文化研究科年報第14号(1998)
  • 「数学の脱構築」 現代思想 1999.4.
  • 「数学と複雑系」 大阪大学集中講義（理学研究科数学専攻）1999.5.
  • 「数の脱構築」奈良女子大大学院年報, 2000.
  • 「数学と複雑系」数理科学, 2000.
  • 私信(1998.4-)
• 辻下　徹
  • 「生命と複雑系」（PDF)（山口昌哉他著「複雑系の科学と現代思想−数学」青土社1998, pp75-225.）
  • 「複雑システム学と数学の多様な関係」平成１０年度日本数学会秋季総合分科会企画特別講演(予稿など)
  • 「高次元圏論の概要と意義−複雑系の数理の文脈で−」1999.3 JAIST 講演.

資料

1. 10月 4日　序：複雑系と不定性(PDF,ps file, gzipped)
2. 10月18日 ２：Skolem の逆理(PDF,ps file, gzipped)
3. 10月25日 3：形式主義(PDF,ps file, gzipped)
4. 11月 1日 4：＜無限＞の柔軟性（１）：Forcing (PDF,ps file, gzipped)
5. 11月8日 5：＜無限＞の柔軟性（2）：Internal Set Theory (PDF,ps file, gzipped)
6. 11月15日 6：＜無限＞の柔軟性（3）：Predicative arithmetics: 複数の自然数列(PDF,ps file, gzipped)
7. 11月22日 7：＜無限＞の柔軟性（4）：Predicative arithmetics(2) (PDF,ps file, gzipped)
8. 11月29日 8：＜無限＞の柔軟性（5）：Predicative arithmetics(3) , 集合、有限概念の分析(PDF,ps file, gzipped)
9. 12月 6日 9：規則の懐疑(PDF,ps file, gzipped)
10. 12月 13日 10：クリプキの懐疑の諸相(PDF,ps file, gzipped)
11. 12月 20日 11：数記法(PDF,ps file, gzipped)
12. 2000年1月 17日 12：連続体の逆理(PDF,ps file, gzipped)
13. 2000年1月 31日 13：実数の不定性(PDF,ps file, gzipped)
14. 2000年2月 7日 14：実数の不定性2(PDF,ps file, gzipped)
15. 2000年2月14日 15：生きた不定性(PDF,ps file, gzipped)
16. レポート問題 PDF